19.07.2008
Это самая простая рента: в ней только один платеж Rв год, длительность ее nлет, годовая процентная ставка i. На рентные платежи начисляются сложные проценты. Пример 2. Рассмотрим 5-летнюю ренту с годовым платежом 1000 руб., процентная ставка i=10%.  Поясним движение денежных сумм. В конце 1-го года в банк вносится 1000 руб. В конце 2-го года эта сумма возрастает до 1100 руб. за счет начисленных 10%. Вместе с очередным внесенным платежом в 1000 руб. на счете уже 2100. В конце 3-го года эта сумма возрастает до 2310 руб. за счет начисленных 10%. Вместе с очередным внесенным платежом на счете теперь уже 3310 руб. и т.д. Наращенная сумма ренты равна 6105,1 руб. Современную величину ренты найдем, дисконтируя к моменту 0 наращенную сумму 6105,1. Получаем 6105,1/1,15=3791 Если платежи поступают в конце очередного промежутка, то рента называется постнумерандо. Рассматриваемая рента в примере постнумерандо. В дальнейшем рассматриваются только такие ренты. Изучим подробно конечную годовую ренту {R,n,i} в общем виде.  Главная задача – найти современную величину этой ренты. Имеем A=R/(1+i)+R/(1+i)2+…+R/(1+i)n=R[(1+i) –1+…+(1+i)–n]. В квадратных скобках стоит сумма nчленов геометрической прогрессии с первым членом (1+i)–1 и знаменателем (1+i)–1. Как известно, сумма nчленов геометрической прогрессии с первым членом b1 и знаменателем qравна b1(qn– 1)/(q–1) или (bnq–b1)/(q–1). Следовательно, сумма в квадратных скобках есть [1– (1+i)–n]/i. И потому современная величина ренты есть A=R[1–(1+i)–n]/i. Величина [1–(1+i)–n]/i обозначается a(n,i) и называется коэффициентом приведения ренты. С учетом этого обозначения имеем A=R*a(n,i). Зная современную величину ренты, можно легко найти конечную ее величину, которая еще наращенной величиной ренты S: S=A(1+i)n, или S=R*a(n,i)(1+i)n=R[(1+i)n–1]/i. Величина [(1+i)n–1]/iобозначается s(n,i) и называется коэффициентом наращения ренты. С учетом этого обозначения имеем S=R*s(n,i). Величины a(n,i), s(n,i) связаны очевидным соотношением s(n,i)=a(n,i)*(1+i)n или s(n,i)=a(n,i)* M(n,i). Коэффициент наращения s(n,i) показывает, во сколько раз наращенная величина ренты больше ее годового платежа. Аналогичный смысл имеет и коэффициент приведения ренты: он показывает, во сколько раз современная величина ренты больше ее годового платежа. Можем дать другое толкование смысла понятия «современная величина ренты»: если в момент 0 положить в банк современную величину ренты под i процентов годовых, то к концу n-го года она вырастет до наращенной величины ренты S. Итак, имеем формулы для конечной годовой ренты А=R* a(n,i), S=R*s(n,i). Эти формулы формально имеют смысл и для нецелых п. При этом надо использовать определяющие формулы для а(n,i) и s(n,i) . Ниже приведены фрагменты таблиц коэффициентов приведения и наращения годовой ренты. Таблицы большого объема приведены соответственно в приложениях 3 и 4. Коэффициент приведения годовой ренты a(n,i)=[1–(1+i)–n]/i | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ! Ю | 11 | 3 | 2,829 | 1,775 | 2,723 | 2,673 | 2,624 | 2,577 | 2,531 | 2,487 | 2,444 | 4 | 3,717 | 3,630 | 3,546 | 3,465 | 3,387 | 3,312 | 3,240 | 3,170 | 3,102 | 5 | 4,&ао | 4,452 | 4,329 | 4,212 | 4,100 | 3,993 | 3,890 | 3,791 | 3,696 | 6 | 5,417 | 5,242 | 5,076 | 4.917 | 4,767 | 4,623 | 4,486 | 4,355 | 4,231 | 7 | 6,230 | 6,002 | 5,786 | 5,582 | 5,389 | 5,206 | 5,033 | 4,868 | 4.71? | 8 | 7,020 | 6,733 | B,463 | 6,210 | 5.971 | 5,747 | 5,535 | 5,335 | 5.146 | 9 . | 7,786 | 7,435 | 7,108 | 6,802 | 6,515 | 6.247 | 5,995 | 5,759 | 5,537 | to | 8,530 | 8,110 | 7,722 | 7,360 | 7,024 | 6,710 | 6,418 | 6,145 | 5,889 | Коэффициент наращения годовой ренты s(n,i)=[(1+i)n–1]/i | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 3 | 3,091 | 3,122 | 3,153 | 3,184 | 3,215 | 3,246 | 3,278 | 3,310 | 3,342 | 4 | 4,184 | 4,246 | 4,310 | 4,375 | 4.440 | 4,506 | 4,573 | 4.641 | 4,710 | 5 | 5,309 | 5,416 | 5,526 | 5,637 | 5,751 | 5,867 | 5.985 | 6,105 | 6,228 | 6 | 6,468 | 6,633 | 6,802 | 6,975 | 7,153 | 7,336 | 7.523 | 7,716 | 7,913 | 7 | 7.662 | 7,898 | 8(H2 | 8,394 | 8,654 | 8,923 | 9.200 | 9,487 | 9,783 | 8 | 8.892 | 9,214 | 9,549 | 9,897 | 10,260 | 10,637 | 11,028 | 11,436 | 11,859 | 9 | 10.159 | 10,583 | 11,027 | 11,491 | 11,978 | 12,488 | 13.021 | 13,579 | 14,164 | 10 | 11,464 | 13,006 | 12.578 | 13,181 | 13,816 | 14,4*7 | 15,193 | 15137 | 16,722 | Применение коэффициентов приведения и наращения покажем на примере. Пример 3. Найти современную и наращенную величины годовой ренты с R=1000, n=8, i=8%. Находим по таблицам a(8,8)=5,747, s(8,8)=10,637. Значит, современная величина ренты равна 5747, наращенная – 10,637. Для контроля посмотрев в таблицу мультиплицирующих множителей, находим М(8,8)=1,851. Проверка: 5747*1,851=10638. |