Rambler's Top100




2.2 Конечная годовая рента
Версия для печати
Опубликовал: Administrator  
19.07.2008
Это самая простая рента: в ней только один платеж Rв год, длительность ее nлет, годовая процентная ставка i. На рентные платежи начисляются сложные проценты.
Пример 2.
Рассмотрим 5-летнюю ренту с годовым платежом 1000 руб., процентная ставка i=10%.

Поясним движение денежных сумм. В конце 1-го года в банк вносится 1000 руб. В конце 2-го года эта сумма возрастает до 1100 руб. за счет начисленных 10%. Вместе с очередным внесенным платежом в 1000 руб. на счете уже 2100. В конце 3-го года эта сумма возрастает до 2310 руб. за счет начисленных 10%. Вместе с очередным внесенным платежом на счете теперь уже 3310 руб. и т.д. Наращенная сумма ренты равна 6105,1 руб. Современную величину ренты найдем, дисконтируя к моменту 0 наращенную сумму 6105,1. Получаем 6105,1/1,15=3791
Если платежи поступают в конце очередного промежутка, то рента называется постнумерандо. Рассматриваемая рента в примере постнумерандо. В дальнейшем рассматриваются только такие ренты.
Изучим подробно конечную годовую ренту {R,n,i} в общем виде.

Главная задача – найти современную величину этой ренты. Имеем
A=R/(1+i)+R/(1+i)2+…+R/(1+i)n=R[(1+i) 1+…+(1+i)n].
В квадратных скобках стоит сумма nчленов геометрической прогрессии с первым членом (1+i)1 и знаменателем (1+i)1. Как известно, сумма nчленов геометрической прогрессии с первым членом b1 и знаменателем qравна b1(qn1)/(q1) или (bnqb1)/(q1). Следовательно, сумма в квадратных скобках есть [1(1+i)n]/i. И потому современная величина ренты есть A=R[1(1+i)n]/i.
Величина [1(1+i)n]/i обозначается a(n,i) и называется коэффициентом приведения ренты. С учетом этого обозначения имеем A=R*a(n,i).
Зная современную величину ренты, можно легко найти конечную ее величину, которая еще наращенной величиной ренты S: S=A(1+i)n, или S=R*a(n,i)(1+i)n=R[(1+i)n1]/i.
Величина [(1+i)n1]/iобозначается s(n,i) и называется коэффициентом наращения ренты. С учетом этого обозначения имеем S=R*s(n,i).
Величины a(n,i), s(n,i) связаны очевидным соотношением s(n,i)=a(n,i)*(1+i)n или s(n,i)=a(n,i)* M(n,i).
Коэффициент наращения s(n,i) показывает, во сколько раз наращенная величина ренты больше ее годового платежа. Аналогичный смысл имеет и коэффициент приведения ренты: он показывает, во сколько раз современная величина ренты больше ее годового платежа. Можем дать другое толкование смысла понятия
«современная величина ренты»: если в момент 0 положить в банк современную величину ренты под i процентов годовых, то к концу n-го года она вырастет до наращенной величины ренты S. Итак, имеем формулы для конечной годовой ренты
А=R* a(n,i), S=R*s(n,i).
Эти формулы формально имеют смысл и для нецелых п. При этом надо использовать определяющие формулы для а(n,i) и s(n,i) .
Ниже приведены фрагменты таблиц коэффициентов приведения и наращения годовой ренты. Таблицы большого объема приведены соответственно в приложениях 3 и 4.

 

Коэффициент приведения годовой ренты a(n,i)=[1(1+i)n]/i

 

3

4

5

6

7

8

9

! Ю

11

3

2,829

1,775

2,723

2,673

2,624

2,577

2,531

2,487

2,444

4

3,717

3,630

3,546

3,465

3,387

3,312

3,240

3,170

3,102

5

4,&ао

4,452

4,329

4,212

4,100

3,993

3,890

3,791

3,696

6

5,417

5,242

5,076

4.917

4,767

4,623

4,486

4,355

4,231

7

6,230

6,002

5,786

5,582

5,389

5,206

5,033

4,868

4.71?

8

7,020

6,733

B,463

6,210

5.971

5,747

5,535

5,335

5.146

9 .

7,786

7,435

7,108

6,802

6,515

6.247

5,995

5,759

5,537

to

8,530

8,110

7,722

7,360

7,024

6,710

6,418

6,145

5,889

Коэффициент наращения годовой ренты s(n,i)=[(1+i)n1]/i

 

3

4

5

6

7

8

9

10

11

3

3,091

3,122

3,153

3,184

3,215

3,246

3,278

3,310

3,342

4

4,184

4,246

4,310

4,375

4.440

4,506

4,573

4.641

4,710

5

5,309

5,416

5,526

5,637

5,751

5,867

5.985

6,105

6,228

6

6,468

6,633

6,802

6,975

7,153

7,336

7.523

7,716

7,913

7

7.662

7,898

8(H2

8,394

8,654

8,923

9.200

9,487

9,783

8

8.892

9,214

9,549

9,897

10,260

10,637

11,028

11,436

11,859

9

10.159

10,583

11,027

11,491

11,978

12,488

13.021

13,579

14,164

10

11,464

13,006

12.578

13,181

13,816

14,4*7

15,193

15137

16,722

Применение коэффициентов приведения и наращения покажем на примере.
Пример 3.
Найти современную и наращенную величины годовой ренты с R=1000, n=8, i=8%.
Находим по таблицам a(8,8)=5,747, s(8,8)=10,637. Значит, современная величина ренты равна 5747, наращенная 10,637. Для контроля посмотрев в таблицу мультиплицирующих множителей, находим М(8,8)=1,851.
Проверка: 5747*1,851=10638.