13.1 Простейшая биномиальная модель
|
|
| Опубликовал: Administrator | |
|
18.07.2008 В этой модели S– цена актива без каких-либо специальных ограничений типа цены облигации с погашением (в момент погашения цена равна номиналу облигации), например, это цена акции. Пусть единица временного промежутка есть день. Тогда цена актива к концу п-го дня будет Sn=S0+x1+…+xn, где S0 - цена в начале наблюдения, хi, i=1,...,n, – независимые и одинаково распределенные случайные величины, принимающие значения –1,+1 с вероятностью 1/2. Поведение возможной цены актива изобразим на рис. 13.1  На рисунке изображено так называемое биномиальное дерево. Поведение цены можно представить как случайное движение по этому дереву слева направо. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины Sn. Имеем  так как математическое ожидание каждой с.в. Х[ равно 0. Далее в силу независимости св. jq дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий. Но дисперсия каждой св. jq равна 1, следовательно, D[Sn]=n. Обозначим jci + ... +хп через Хп. Найдем ряд распределения Хп. Вероятность того, что из « св. Х[ к приняли значение+1, а остальные (п-к) приняли значение 1, равна Cnk(l/2)n Следовательно. Р(Хп=2к-п)=Сп\\/2)п. Ряды распределенияXhX2, Х3 показаны на рис. 13.2.  При «>10 уже можно воспользоваться центральной предельной теоремой, гласящей, что сумма большого числа независимых и одинаково распределенных слагаемых приближено распределена по нормальному закону. Итак, при «>10 и, значит P(a<Sn-So<≈0(p√ny0(a√n\ где Ф - функция Лапласа. Отсюда следует, что при «>10 Р(\ Sn -S0|<√«)=0,9973. В частности, при «=16 имеем Р(\ Sn-S0|<12)=0,9973, т.е. за 16 дней цена изменится не более чем на 12 единиц (предполагается, что So значительно превосходит 12). В этой самой простой биномиальной модели цены не могут расти систематически, как, например, растет цена бескупонной облигации при приближении момента ее гашения. Ясно также, что математическое ожидание доходности актива равно 0. Поэтому и безрисковая ставка должна быть равна 0 (многочисленные наблюдения убеждают, что математическое ожидание доходности любого рискового актива не может быть меньше безрисковой ставки). Все эти соображения делают данную модель пригодной лишь для некоторых поясняющих иллюстративных расчетов (см. § 14.4). |
|
