Приятные цены - Подробности https://greenoffice.ru/rasteniya/tsvetushchie/difenbakhii.html здесь. недорого


Rambler's Top100




19.1. Измерение неприятия риска
Версия для печати
Опубликовал: Administrator  
18.07.2008
Выше рассмотрены лотереи с конечным множеством исходов. Сейчас рассмотрим более общую ситуацию. Множество исходов есть множество всех неотрицательных денежных сумм R+=[0,∞). Лотерея задается распределением вероятностей на R+с помощью функции распределения F, которую и отождествим с самой лотереей. В данной ситуации F(х) - вероятность того, что при розыгрыше лотереи ЛПР получит доход меньше х. Из теории ожидаемой полезности (см. гл. 18) следует, что можно определить для ЛПР функцию полезности и(х), определенную на R+, после чего полезность лотереи Fрассчитывается по формуле

рассматриваемое распределение непрерывно, т.е. имеет плотность распределения f, то

Эту полезность лотереи также называют средней ожидаемой полезностью лотереи. Функция и(х) - функция Бернулли, а и(F), определенная на лотереях рассматриваемого вида, функция Неймана-Моргенштерна. Фактически функция Бернулли это функция полезности денег (§ 7.3).
Пример 1.
Пусть функция Бернулли есть и(х)=√х, а выигрыши лотереи равномерно распределены на отрезке [0,1]. Тогда средняя ожидаемая полезность лотереи будет

Напомним свойства функции полезности денег и(х) она непрерывная, возрастающая и вогнутая, а если предположить ее дифференцируемость, то ее первая производная положительна, но должна убывать, что известно как убывающая предельная полезность денег (а в самой общей форме для любой функции полезности, как 1-й закон Госсена). В дифференциальной форме убывание первой производной выражается отрицательностью 2-й производной.
Но отрицательность 2-й производной это и есть характеристика вогнутости функции. На рис. 19.1 это иллюстрировано выпуклостью части плоскости, расположенной вправо и вниз от графика функции. Напомним, что вогнутость функции/характеризуется тем, что f{0,5a+0,5b)≥0,5f{a)+0,5f{b) для любых а, Ъ из области определения/(см. рис. 19.1), что эквивалентно в свою очередь тому, чтодля любых а из области определения / (область определения/также должна быть выпуклой).
Поскольку интеграл

Есть аналог суммы

Где p1+…+pn=1, то свойство вогнутости функции полезности и эквивалентно выполнению неравенства

Для любой лотереи F.
Каков содержательный смысл этого неравенства?
Как известно,

Это средняя ожидаемая полезность лотереи F. С другой стороны,


это средний ожидаемый размер денежной суммы, которую ЛПР может выиграть в лотерее. Следовательно, для ЛПР ценность усредненной денежной суммы больше усредненной полезности этих денежных сумм (см. рис. 19.1).

Тем самым ЛПР напоминает «пессимиста» из § 18.1, который больше ценил 50 долл. ожидаемое среднее лотереи, чем усредненную полезность исходов лотереи.
Обозначим с(F) тот размер денежной суммы, который для ЛПР равноценен величине

т.е. для которого выполняется равенство

это аналог покупной или продажной цены лотерейного билета. Как видно из неравенства (19.1), с(F) не больше

полезности среднего ожидаемого размера денежной суммы, которую ЛПР может выиграть в лотерее F. Величина с(F) называется безусловным эквивалентом лотереи F(эквивалентом без всяких вероятностных соображений). Разность

и показывает степень неприятия риска ЛПР.
Пример 2.
Пусть и(х)=ln(х+1), а Fзадает равномерное распределение на отрезке [9,19]. Такое распределение задается постоянной плотностью f(x)=0,1 на отрезке [9,19].
Вычислим с(F). Имеем

Теперь надо найти с из уравнения ln(c+1)=ln401. Окончательно получаем с(F)=40/е–1≈13,76. Вычислим теперь

Для рассматриваемого равномерного распределения математическое ожидание

Как и должно быть, 13,75<14.
Следующая теорема, приводимая без доказательства, подводит итог изложенному в этом параграфе.
Теорема. Вогнутость функции полезности ЛПР и на множестве денежных сумм [0,∞) равносильна тому, что

для любой лотереи F, и любое из этих двух равносильных условий свидетельствует о неприятии риска ЛПР.



[ 1 / 5 ]  Далее >  Конец >>