Rambler's Top100




16.2. Влияние ведущего фактора на составляющие финансового рынка.
Версия для печати
Опубликовал: Administrator  
18.07.2008
Выход был найден это анализ зависимостей курсов и других характеристик ценных бумаг от ведущих факторов финансового рынка. Что же такое ведущий фактор?
Как уже подчеркивалось, в экономической жизни все взаимосвязано, но есть факторы, которые влияют сразу практически на все показатели. Например, уровень цен на ближневосточную нефть влияет на котировку акций почти всех компаний США, поскольку эта нефть покрывает более половины энергетических потребностей США. Если цена на нефть поднимется, станет дороже бензин для автомобилей, уменьшится спрос на бензин, на автомобили, на металл для их изготовления, повысятся цены на сельскохозяйственные продукты, поскольку затраты на топливо основной компонент их себестоимости.
Рассмотрим один из таких ведущих факторов, не определяя пока его природу. Обозначим его fи будем считать, что доходности всех ценных бумаг зависят от него. Пусть dдоходность какой-нибудь фиксированной ценной бумаги. Простейшая форма зависимости линейная, так что примем гипотезу, что dлинейно зависит от f: da+bf. Так как обе величины d, fслучайны, то равенство вряд ли может быть точным, поэтому использован знак приближенного равенства. Как найти константы а, b? Рассмотрим эту задачу в общем случае, для произвольных двух случайных величин Х, У.
Попробуем подобрать линейную зависимость у=а+bх=ϕ(x) такую, чтобы F(а,b)[(Y-а-bХ)2] было минимальным. Имеем F(а,b)[Y-2аY-2bХY+a2+2abX+b2X2][Y]-2аМ[Y]-2bM[XY]+a2+2abM[X]+b2M[X2]. Дифференцируя F(а,b) частным образом по а и bи приравнивая частные производные 0, получим систему уравнений:

Решая эту систему, значит, искомая линейная зависимость есть


Найдем математическое ожидание случайной величины Z=(M[Y]+(XM[X])KXY/DX) являющейся функцией от случайной величины X. Имеем М[Z][Y]. Значит, в частности, при найденных а, bдля математических ожиданий с. в. X, У верно не приближенное равенство, а точное:
М[Y]=а+[Х]. (16.1)
На практике совместное распределение случайных величин (X, Y)неизвестно, известны только результаты наблюдений, т.е. выборка пар (х,у) значений (Х,Y). Все рассмотренные величины заменяются их выборочными аналогами. Так, для определения а, bполучим систему уравнений:

где напомним,

Решая эту систему, получим


значит, прямая линия регрессии имеет уравнение


Через

обозначаем выборочные аналоги корреляционного момента случайной величины Х, У и дисперсии Х соответственно.
Кстати, как можно убедиться, для средних арифметических значений верно точное равенство

Пример 1.
Найти оценки параметров линейной регрессии по выборке (9, 6), (10, 4), (12, 7), (5, 3). Изобразить заданные точки и прямую регрессии в прямоугольной системе координат.
Решение. Находим

Получаем


Значит, b=1/2; а=1/2 (см. систему (16.2)). Итак, уравнение
регрессии есть у=1/2+х/2. Изобразим указанные точки и линию регрессии в системе координат на плоскости (рис. 16.1):

Итак, в теоретическом плане линейная (приближенная) зависимость доходности dрассматриваемой бумаги от fвыглядит так:


На практике же приходится использовать соответствующие
выборочные оценки и тогда получим:


(Напоминаем, что Vff, ^обозначают выборочные аналоги вариации случайной величины/и ковариации df, в частности, через dобозначено среднее выборочное

 

значение доходности d, и т.д. см. пример 1).
Отметим, как и выше (см. формулу (16.1)), что для математических ожиданий или выборочных средних значений верно точное равенство, аналогичное (16.1) или (16.3).
Если гипотеза о влиянии ведущего фактора на данную ценную бумагу верна, то все отклонения от прямой а+b*fверх и вниз являются действительно случайными и если в будущем возникнет новая ситуация, новая пара величин (f,е), то соответствующая точка расположится в окрестности указанной прямой.
Если ведущий фактор fвыбран удачно, то его влиянием определяются почти все случайные колебания доходности, остаточные колебания е=d(а+b*f) оказываются сравнительно небольшими и некоррелированными и друг с другом с другими доходностями d. Обозначим через vii вариацию остаточного колебания еi и через vij совместную ковариацию различных остаточных величин еi, еj. Итак, окончательно получаем: di=ai+bi*fii и vij=0 при ij.
Если для каждой ценной бумаги аналогичная зависимость ее доходности dот ведущего фактора fнайдена, то можно легко найти и все нужные величины для формирования оптимального портфеля. Действительно, имеем для эффективности i-й бумаги точное равенство mi=ai+bimf, где mf эффективность ведущего фактора, для вариации i-й ценной бумаги и совместных ковариаций имеем точные равенства