15.4. Портфель Тобина минимального риска
|
|
| Опубликовал: Administrator | |
|
18.07.2008 Через несколько лет после исследования Марковица другой крупнейший американский экономист Д. Тобин (D. Tobin – также впоследствии лауреат Нобелевской премии) заметил, что если на рынке есть безрисковые бумаги (к таким можно с некоторой натяжкой отнести государственные ценные бумаги), то решение задачи об оптимальном портфеле сильно упрощается и приобретает замечательное новое качество. Пусть т0 - эффективность безрисковых бумаг (фактически это безрисковая банковская ставка, в СССР таковой можно было считать годовую процентную ставку Сбербанка по вкладам до востребования, она была 2-3%), а x0 – доля капитала, в них вложенного, тогда в рисковую часть портфеля вложена (1–x0) часть всего капитала. Пусть тr - эффективность и Vr - вариация (дисперсия) рисковой части портфеля и rr=√Vr - риск этой рисковой части. Тогда эффективность всего портфеля равна тp=х0т0+(1-х0)тr, вариация портфеля равна Vp=(1–x0)2Vr и риск портфеля равен rp=| 1–x0 |rr (считается, что безрисковые бумаги некоррелированы с остальными). Исключая x0, получим mp=m0+rp(mr–m0)/rr, т.е. эффективность портфеля линейно зависит от его риска. Рисковые виды ценных бумаг будем нумеровать числами от 1 до п. Задача Марковица об оптимальном портфеле в этом случае такова:  Изложим теперь окончательное решение этой задачи, полученное Тобиным. Пусть V матрица ковариаций рисковых видов ценных бумаг, Х=(xi), М=(mi) – вектор-столбцы долей х капитала, вкладываемых в i-й вид рисковых ценных бумаг и ожидаемых эффективностей этого вида, i=1,..,п. Пусть также I– n-мерный вектор-столбец, компоненты которого равны 1. Тогда оптимальное значение долей хi есть  Здесь V–1 – матрица, обратная к V. В числителе дроби стоит число, в знаменателе, если выполнить все действия (операция транспонирования первого сомножителя в знаменателе не указана, но подразумевается), тоже получится число, причем константа, определяемая рынком и не зависящая от инвестора, V–1(M–m0I) – вектор-столбец размерности n. Как видим, этот вектор не зависит от эффективности портфеля тр. Таким образом, вектор долей рисковых видов ценных бумаг, пропорциональный этому вектору, также не зависит от тр. Следовательно, структура рисковой части портфеля не зависит от тр. Однако сумма компонент вектора X* зависит от тр, и именно, компоненты вектора X* пропорционально увеличиваются с ростом тр, поэтому доля х0 безрисковых вложений будет при этом сокращаться. Выразим риск оптимального портфеля в зависимости от его доходности. Для этого в формулу вариации портфеля Vр=XТVXподставим оптимальный вектор X* из формулы (15.4), обозначив знаменатель формулы (15.3) через d2. Получим  Окончательно:  Можно также написать выражение эффективности оптимального портфеля от его риска: тр-т0=drp или тp=m0+drp. Видно, что зависимости эти линейные. Будем называть полученный оптимальный портфель портфелем Тобина минимального риска, т.е. портфель Тобина это портфель Марковица при наличии на рынке безрисковых ценных бумаг. |
|
