2.6. Объединение и замена рент
|
|
| Опубликовал: Administrator | |
|
19.07.2008 Общее правило объединения рент очень просто: находятся современные величины рент-слагаемых и складываются, а затем подбирается рента-сумма с такой современной величиной и нужными остальными параметрами. Пример 6. Найдем ренту-сумму для двух годовых рент: одна длительностью 5 лет с годовым платежом 1000, и другая – 8 и 800. Годовая ставка процента 8% . По таблицам находим коэффициенты приведения: а(5,8)=3,993, а(8,8)=5,747. Далее A1=1000*3,993=3993, A2=800*5,747=4598. Значит, у ренты – суммы современная величина А=8591. Теперь можно задать либо длительность ренты–суммы, либо годовой платеж и затем второй из этих параметров определится. Такие задачи рассмотрены в § 2.3. Примерно так же решается и вопрос о замене данной ренты другой с измененными параметрами: находится современная величина данной ренты, а затем подбирается рента с такой современной величиной и нужными параметрами. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. Укажите соотношение между современной и конечной величинами потока. 2. Найдите современную и наращенную величины потока {(–2000,1); (1000,2); (1000,3); (1000,4)} при i=5% . 3. Семья хочет накопить $12000 на машину, вкладывая в банк $1000 ежегодно. Годовая ставка процента в банке 7%. Как долго ей придется копить? 4. Семья хочет через 6 лет купить дачу за $12 000. Какую сумму (одинаковую) ей нужно каждый год из этих 6 лет добавлять на свой счет в банке, чтобы накопить $12 000, если годовая ставка процента в банке 8%? 5. Каждые полгода на банковский счет писателя издательство перечисляет 2000 руб., на которые банк начисляет каждые полгода 7% по схеме сложных процентов. Сколько будет на счете через 4 года? 6. Для мелиоративных работ государство перечисляет фермеру $500 в год. Деньги поступают на специальный счет и на них начисляют каждые полгода 4% по схеме сложных процентов. Сколько накопится на счете через 5 лет? 7. В ходе судебного заседания выяснилось, что г. Nнедоплачивал налогов 100 руб. ежемесячно. Налоговая инспекция хочет взыскать недоплаченные за последние 2 года налоги вместе с процентами (3% ежемесячно). Какую сумму должен заплатить г. N? 8. В ходе судебного заседания выяснилось, что по вине Пенсионного фонда г. Nв течение 10 лет недоплачивали 100 руб. пенсии ежемесячно. Суд обязал фонд выплатить ее недоплаченные деньги с процентами (12% годовых). Какова сумма выплаты? Решение. Искомая сумма есть наращенная величина ренты с единичным платежом 100 руб. и числом платежей 120. Не совсем понятий, как часто начислять проценты и какие. Если применить формулу (2.5), то искомая сумма уйдет 100*s(120,1). Но в таблице коэффициентов наращения ренты не найдем s(120, 1). Придется вычислить эту величину напрямую: s(120,1)=[(1+0,01)120–1]/0,01≈(e1,2– 1)=230. Итак, надо выплатить примерно 23 000 руб. 9. Замените годовую ренту с годовым платежом $600 и длительностью 10 лет семилетней годовой рентой. Ставка процента 8% в год. 10. Замените годовую десятилетнюю ренту с годовым платежом $1000 на ренту с полугодовым платежом по $600. Годовая ставка процента 8%. 11. Сын в банке имел на счете 50 000 руб., на которые ежемесячно начислялись 0,8%. Сын уехал в десятилетнюю командировку за границу, доверив отцу за 10 лет истратить весь его счет. Сколько будет получать в месяц отец? 12. Покупатель предложил два варианта расчетов при покупке дачи: 1) $5000 немедленно и затем по $1000 в течение 5 лет; 2) $8000 немедленно и по $300 в течение 5 лет. Какой вариант выгоднее при годовой ставке процента: а)10%, б) 5%. 13. Рассмотрим годовую ренту при n=10, i=10%. Что более увеличит наращенную величину ренты: увеличение длительности на 1 год или увеличение процентной ставки на 1%? 14. Каким должен быть платеж конечной годовой ренты длительностью 8 лет, чтобы ее современная величина была 16000 при ставке 10%? 15. Докажите, что наращенная величина годовой ренты всегда больше ее современной величины 16. Может ли современная величина конечной годовой ренты быть меньше её годового платежа? 17. Убедитесь, что и современная величина ренты, и наращенная, линейно зависят от величины годового платежа. Как в связи с этим можно переформулировать смысл коэффициентов приведения и наращения ренты? Указание. Сформулируйте смысл этих величин применительно к единичному годовому платежу. 18. В потоке платежей разрешается переставлять платежи. Как их надо переставить, чтобы поток имел самую большую современную величину? Имеет ли это какое-нибудь практическое значение? 19. Рассмотрим вечную ренту с годовым платежом Rпри ставке процента i. Известно, что ее современная величина, т.е. в момент 0, равна R/i. Найдите ее величину в произвольный момент t>0. При каком tэта величина максимальна, минимальна? 20. Рассмотрим вечную ренту с годовым платежом R. Что более увеличит современную величину этой ренты: увеличение Rна 1% или уменьшение i на 1%? 21. Увеличится ли современная величина вечной ренты, если платежи сделать в два раза чаще, но годовую процентную ставку в два раза уменьшить? 22. Проведите детальный анализ ренты длительностью 4 года, годовым платежом Л=1000 д.е. и переменной процентной ставкой: 5% во 2-м году, 8% – в 3-м, 10% – в 4-м году. Как здесь определить современную величину этой ренты? 23. Для ренты с параметрами: годовая ставка процента –12%, годовой платеж – 400 д.е., длительность ренты 6 лет, с помощью компьютера получены следующие ее характеристики: Коэффициенты приведения и наращения – 4,11 и 8,12; Современная и наращенная величины – 1644,6 и 3246,1. Проверьте компьютерные расчеты. 24. Для ренты с параметрами: годовой платеж – 400 д.е., длительность ренты, – 4 года, современная величина 1200 д.е. с помощью компьютера найдена необходимая ставка процента – 13% годовых и заодно получены следующие ее характеристики: Коэффициенты приведения и наращения,–12,9 и 4,85; Наращенная величина 1939,9; Проверьте компьютерные расчеты. |
|
