Продолжим теперь решение задач об оптимальном портфеле, изложенных в гл. 15, 16, с учетом отношения ЛПР к риску посредством его функции полезности: среди всех портфелей найти портфель, наиболее полезный для данного ЛПР, т.е. максимизирующий его функцию полезности. Конечно, такой портфель надо искать среди портфелей, оптимальных по Парето, или эффективных. Обозначим множество таких портфелей Р, тогда надо решить задачу:
U(P)→max PP. (19.4)
Естественной функцией полезности является такая, которая возрастает с увеличением эффективности портфеля и уменьшением его риска. Поэтому можно ограничиться лишь портфелями, оптимальными по Марковицу, т.е. имеющими минимальный риск при данной эффективности или максимальную эффективность при данном риске.
Если на рынке есть безрисковые бумаги, то задача (19.4) сильно упрощается. В самом деле, для оптимальных портфелей Тобина зависимость эффективности от риска линейная – тp=т0+drp (см. § 15.7). Подставляя эту линейную зависимость в функцию полезности, сведем задачу (19.4) к максимизации функции одной переменной.
Итак, при наличии безрисковых бумаг есть две возможности учесть отношение ЛПР к риску: выбором доли x0 безрисковых бумаг и с помощью функции полезности.
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
1. Пусть функция полезности ЛПР есть и(х)=ln(1+х) уровень его капитала w. Ему предлагают лотерею, в которой выигрыш х и проигрыш х имеют вероятность соответственно р и 1-р. Найдите х, при котором такая лотерея ему безразлична. Каков ответ при р=0,5?
2. Пусть функция Бернулли индивидуума есть и(х) уровень его богатства w. Рассмотрим лотерею, которая с вероятностью р дает выигрыш Gи с вероятностью (1–р) – выигрыш В. Найдите продажную и покупную цену этой лотереи в общем виде. Решите эту задачу при конкретных данных: и(х)=√x, w=10, C=10, B=5.
3. Пусть функция полезности индивидуума есть и(х)=√x. При уровне богатства 16 найти вероятностную Премию за риск в лотерее, которая с вероятностью 1/2 дает выигрыш 4 и проигрыш 0,46.
Решение. Эта вероятностная премия е за риск удовлетворяет уравнению и(х)=(1/2+е) и(х+4)+(1/2-е)u(х–4) т.е. 16=(1/2+е)(16+4)+(1/2–е)(16–4). Решая это уравнение находим е=0,04. Следовательно, данному индивидууму при таком уровне его богатства безразлична лотерея, которая дает выигрыш 4 с вероятностью 0,54 и проигрыш 4 с вероятностью 0,46.
4. Пусть ЛПР приглашают сыграть в две лотереи:

Справа от табличек написаны средний ожидаемый выигрыш и дисперсии обеих лотерей. Если отвлечься от самого ЛПР, то определенно лотерея Х1 явно лучше – средний ожидаемый выигрыш тот же, а риск меньше. Однако если функция полезности ЛПР, например, есть и(z)=√z, то средняя ожидаемая полезность лотереи Х1 равна 1 (1/2 u(0)+1/2u(4)=0+1/2* 2=1), а лотереи равна 10/8. Это обстоятельство способно повлиять на выбор лотереи данным ЛПР.
На самом деле, и это всем прекрасно известно, окончательное решение, принимаемое ЛПР, зависит от его вкусов симпатии, настроения и т.п.
5. Пусть функция полезности инвестора есть f(Р)=т-√r. Заданы характеристики двух ценных бумаг эффективности и их риски равны 4,8;.6,30; совместная вариация доходностей равна 20. С помощью, компьютера перебрали с шагом h=0,2 долю x[1]=1–k*h1-й бумаги в портфеле и определили характеристики
портфелей с такими долями ли характеристики портфелей с такими долями бумаг (x[2] при этом равно 1–x[1]). Таким образом, нулевой портфель состоит только из бумаг 1-го вида, 5-й – из бумаг 2-го вида.

Проверьте компьютерные расчеты, убедитесь, что 1-й портфель имеет наибольшую полезность.
6. Пусть оценка ЛПД полезности портфеля Pесть u(P)=m-r2, где m, r– эффективность и риск портфеля. Портфель составляется из двух некоррелированных ценных бумаг с эффективностями и рисками соответственно (2,4), (4,8). Найдите самый полезный портфель. Найдите эффективность и риск портфеля.