Rambler's Top100




19.3. Коэффициент Эрроу-Пратта неприятия риска
Версия для печати
Опубликовал: Administrator  
18.07.2008
Отношение ЛПР к риску очень важно для анализа принятия им различных решений и, как видно из теоремы, сформулированной в § 19.1, все дело в строении его функции полезности денег u(x) функция Бернулли. Поэтому эту функцию тщательно изучали и сделаны даже попытки измерить степень неприятия риска в конкретных точках области определения функции Бернулли.
Коэффициентом Эрроу-Пратта неприятия риска в точке х для ЛПР с функцией Бернулли uназывается число rэ(x)=u’’(x)/u'(x).
Так как функции полезности 1-я производная положительная, а 2-я отрицательна, то rэ(x)>0 во всякой точке x. Это и есть обещанное в конце § 18.1 утверждение о неприятии риска ЛПР.
Пример 3.
Найти коэффициент Эрроу-Пратта неприятия риска для функции Бернулли u(x)=1eax, a>0.
Имеем u(x)=ae-ax, u’’(x)=a2e-ax, значит, rэ(x)=a.
Поясним происхождение коэффициента Эрроу-Пратта. Выше была сформулирована теорема о том, что степень неприятия риска определяется вогнутостью функции полезности. Математически степень вогнутости определяется величиной 2-ой производной. Однако одной 2-й производной недостаточно: если функцию полезности увеличить, например, в 2 раза, то система предпочтений ЛПР не измениться, но 2-я производная тоже возрастает в 2 раза, хотя неприятие риска, очевидно, не изменилось. Для устранения этого вместо 2-й производной применяется отношение ее к 1-й производной.
Еще одно объяснение строения коэффициента Эрроу-Пратта. Фиксируем какую-нибудь вероятность р и предложим ЛПР сыграть в игру: с вероятностью р он получит сумму х и с вероятностью 1–р – сумму у. Конечно, в некоторые такие игры ЛПР откажется играть (например, если обе величины х, у отрицательны). Обозначим множество игр (х,у), в которые ЛПР соглашается играть при уровне его богатства w, через А(w) и назовем это множество множеством игр, приемлемых для него.
Если ЛПР не склонен к риску, то это множество выпукло. Граница этого множества состоит из «пограничных» игр (х,у), таких, что рu(w+x)+(1p)u(w+y)=u(w).
Эта граница задает график функции у(х) (рис. 19.4).

Найдем производную этой функции в т. 0: рu’(w)+(1p)u(w)y(0)=0. Итак, у'(0)=–р/(1p).
Можно использовать множество приемлемых игр А(w) для оценки склонности ЛПР к риску. Пусть оценивается склонность к риску двух ЛПР – А и В. Найдем их множества приемлемых игр А(w) и В(w). Если А(w)⊆В(w) при любом w, то можно сказать, что В более склонен к риску, чем А. Теперь оценим эти множества локально в некоторой окрестности 0. Ясно, что чем больше кривизна кривой у(х), тем меньше множество приемлемых игр, тем больше ЛПР не любит риск. Но кривизна кривой оценивается 2-й производной. Найдем 2-ю производную у"(0): рu"(w)+(1–р)u"(w)(у'(0))2+(1–р)и'(w) у"(0)=0. Используя найденное выше значение у'(0), получим окончательно y''(0)=(p/(1p)2)[u’’(w)/u’(w)]
Видно, что значение 2-й производной пропорционально коэффициенту Эрроу-Пратта.