18.2. Теория ожидаемой полезности
|
|
| Опубликовал: Administrator | |
|
18.07.2008 Выше рассмотрены лотереи с двумя исходами: выигрышем 100 долл. и статус-кво. Рассмотрим теперь более общие лотереи с п исходами 1,...,и. Эти исходы неравноценны в системе предпочтений ЛПР. Простой лотереей называется распределение вероятностей на множестве исходов L=(p1,...j?n). Из простых лотерей можно конструировать более сложные. Возьмем к простых лотерей L1,… Припишем каждому i=1,...,kвероятность рi, и получим составную лотерею (L1,p1;…^,Pk)- Эта лотерея осуществляется так: сначала разыгрывается распределение вероятностей (р1,...,рk) с помощью подходящего случайного механизма и получаем какой-то номер / из множества номеров 1 ,...,&. Затем разыгрывается уже простая лотерея Li. Такую лотерею называют составной лотереей 1-го порядка. Из таких лотерей можно сконструировать составную лотерею 2-го порядка и т.д. Априори ясно, что разные лотереи имеют для ЛПР разную ценность, поэтому на множестве всех лотерей возникает отношение предпочтения: запись L<L’ означает, что ЛПР предпочитает лотерею L' лотерее L. Отношение предпочтения описано в § 7.1. Главными свойствами предпочтения являются рефлексивность, транзитивность и совершенность. Рефлексивность означает, что L'<Lдля любой лотереи, транзитивность означает, что если Ь1<Ь2 и L2<L3, то L1<L3и совершенность означает, что для любых двух лотерей LJ,’ верно либо L<L', либо L'<L. Многие исследователи признают, что это отношение предпочтения весьма зыбкое: многие пары лотерей столь близки друг к другу, что ЛПР с большим трудом может выбрать из них лучшую. Трудность выбора лучшей лотереи усугубляет также их сложная природа - ведь можно построить составные лотереи сколь угодно высокого порядка. В процессе исследования данного круга вопросов были найдены три аксиомы, которые значительно упрощают систему предпочтений ЛПР на множестве лотерей: Аксиома сводимости. Составная лотерея 1-го порядка (L1,^1;…;Lk,^k) эквивалентна (в системе предпочтений ЛПР) простой лотерее, в которой вероятность у'-то исхода есть  где рij - вероятность j-го исхода в i-й простой лотерее Li. Пример 1. Пусть исходов всего два. Возьмём две простые лотереи L1=(0,1; 0,9) и L2=(0,4; 0,6). Теперь рассмотрим составную лотерею (L1, 0,3; L2, 0,7). По аксиоме сводимости эта составная лотерея эквивалентна простой (0,3*0,1+0,7*0,4; 0,3*0,9+0,7*0,6)=(0,31; 0,69). Итак, аксиома сводимости позволяет ограничиться только простыми лотереями, которые будем называть просто лотереями. Множество всех лотерей обозначим Ψ. Для случая nисходов это множество есть {(р1,...,рn); все рi и  и называется (п 1)-мерным симплексом. Формулировки двух других аксиом непрерывности и независимости опустим, отметим только, что они довольно естественны. Если все три аксиомы принять, то можно доказать следующую теорему: Теорема. Возможно каждому исходу i=\,...,nприписать число щ такое, что для любых двух лотерей L=(pu...,pn), L’=(pl\...,pn') будет верно L<L\ если и только если  Число ui, приписанное i-у исходу, называется его полезностью. Число же  которое приписывается лотерее L, называется средней ожидаемой полезностью этой лотереи. С точки зрения теории вероятностей это просто математическое ожидание лотереи. Полезности же лотереи можно вычислить по формуле математического ожидания. Пример 2. Продолжим рассмотрение примера 1. Припишем исходу 0 полезность 0, а исходу 1 – полезность 100. Найдем средние ожидаемые полезности всех трёх упомянутых лотерей: двух простых L1=(0,1; 0,9) и L2=(0,4; 0,6) и одной составной (L1, 0,3; L2, 0,7). Итак, и0=0, u1=100. Значит, u(L1)=0,1*0+0,9*100=90; u(L1)=0,4*0++0,6*100=60; поскольку по аксиоме сводимости составная лотерея эквивалентна простой (0,31; 0,69), то ее средняя ожидаемая полезность равна 0,31*0+0,69*100=69. Пример 3. Пусть начальный капитал ЛПР составляет 4 долл., а его функция полезности денег есть u(х)=√х (см. § 7.3). Ему предлагают лотерею, в которой возможен выигрыш 12 долл. с вероятностью 0,5 и «выигрыш» 0 долл. также с вероятностью 0,5. Следует ли ЛПР участвовать в такой лотерее? Решение. Полезность 4 для ЛПР равна u(4)=√4=2. Полезность его капитала после выигрыша 12 долл. равна u(4+12)=4; после «выигрыша» 0 долл. u(4)=2; средняя ожидаемая полезность равна 0,5*4+0,5*2=3, что больше первоначальной. Следовательно, ему нужно участвовать в лотерее. А вот сколько ему можно заплатить за право участия в этой лотерее? Обозначим эту плату а. Тогда aопределяется из уравнения 0,5*(4–а+12)+0,5.(4–а)=2. И элементарные подсчеты показывают, что а=3,75. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. Найдите вероятность, что за nрозыгрышей лотереи оптимист потеряет не менее 50 долл. (см. § 18.1). 2. Пусть функция покупной (и продажной) цены лотерейного билета, по которому выигрыш 1 с вероятностью р и статус-кво с дополнительной вероятностью есть р2. Кто перед нами – оптимист, объективист или пессимист? Найдите величину f. 3. Рассмотрим лотереи с двумя исходами. Возьмем две простые лотереи L1=(0,2; 0,8) и L2=(0,4; 0,6). Опишите и изобразите на плоскости все лотереи, составленные из этих двух (см. пример 1). 4. Сведите к простой составную лотерею (L1; 0,1; L2, 0,1; L3; 0.8), где L1=(0,1; 0,2; 0.7) и L2=(0.2; 0,6; 0,2), L3=(0,3; 10,4; 0.3). 5. Рассмотрим лотереи с тремя исходами. Возьмем три простые лотереи L1=(0,1; 0,2; 0,7) и L2=(0.2; 0,6; 0,2), L3=(0,3; 0,4; 0,3). Опишите и изобразите в пространстве все лотереи, составленные из этих трех – см. пример 1 и задачу 3. 6. Проанализируйте пример З в общем случае – для произвольного уровня начального богатства ЛПР, для произвольной вероятности выигрыша и т.п. |
|
