Выразим из второго уравнения λ1 и подставим в первое, получим M–m0I=–x0VX. Для нахождения λ0 подставим найденное X в равенство XVX=rp2, получим

(так как матрица V симметрична, то транспонированная обратная к ней, матрица совпадает с обратной же). Далее имеем


т.е. формулу (15.5)
Опять видно, что структура рисковой части оптимального этом смысле портфеля также не зависит от ограничения на величину риска.
Выразим эффективность портфеля максимальной эффективности в зависимости от заданного его риска rр, т.е. найдем величину x0*т+МХ*, где x0* и X* – оптимальные доли вложений. Имеем х0*=1–IХ*, подставляя это выражение и Х из формулы (15.5), получаем

Видим, что эта зависимость линейная.
Будем называть полученный оптимальный портфель портфелем Тобина максимальной эффективности.
Замечание 1. Обратим внимание, что структура рисковой части оптимального портфеля одна и та же в обеих постановках и не зависит от задаваемых доходности или риска портфеля.
Замечание 2. В реальности, однако, редко кто из инвесторов озабочен составлением оптимальных портфелей. Обычно инвесторы создают специализированные портфели, содержащие ценные бумаги какого-нибудь определенного профиля: по отрасли промышленности, государственные или какого-нибудь пенсионного фонда и т.п.
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
1. Проверьте доходность и риск портфелей из примеров 3,4.
2. Из двух некоррелированных ценных бумаг с эффективностями 2 и 6 и рисками 10 и 20 с помощью компьютера составлено шесть портфелей: в портфеле с номером kдоля первых бумаг x=1–0,2k, доля вторых равна (1–х), т.е. портфель, состоящий только из бумаг 1-го вида, получает номер 6, а портфель, состоящий только из бумаг 2-го вида получает номер 5. Компьютер нашел их эффективности и риски.

Проверьте компьютерные расчеты. Затем нанесите портфели как точки на плоскость риск-эффективность и отметьте доминируемые портфели и недоминируемые, т.е. оптимальные по Парето.
3. Имея безрисковые ценные бумаги с эффективностью 4 и некоррелированные рисковые с эффективностями 8 и 14 и рисками 10 и 30, с помощью компьютера составили портфель Тобина эффективности 12. Доли бумаг получились такими: –0,51, 1,18, 0,33. Проверьте компьютерные расчеты. Как понимать отрицательную долю безрисковых бумаг?
4. В портфеле бумаги с доходностью 5% годовых составляют 30% по стоимости, а остальные бумаги имеют доходность 8% годовых. Какова доходность портфеля?
5. Сформировать портфель Тобина минимального риска из двух видов ценных бумаг: безрисковых с эффективностью 2 и рисковых с эффективностью 10 и риском 5. Найти зависимость эффективности портфеля от его риска.
Решение. Задача формирования оптимального портфеля в данной ситуации (см. формулу (15.2)):

Отсюда х*0=(10–mр)/8, х*1=(mp–2)/8. Тогда mр=2+8х*1–=2+8rр/5.
6. Решить задачу формирования портфеля Тобина минимального риска при наличии безрисковых бумаг и некоррелированных остальных в общем виде.
Решение. Используем формулу (15.4). Матрица V ковариаций рисковых видов ценных, бумаг является в данном случае диагональной, обратная к ней также диагональная:

Произведя необходимые вычисления, получаем вектор долей рисковых бумаг

7. Сформировать портфель Тобина максимальной эффективности и риска не более заданного из трех видов ценных бумаг: безрисковых с эффективностью 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 4 и 10 и рисками 2 и 4. Каковы соотношения доли бумаг в рисковой части оптимального портфеля?
Решение. Итак,

Ограничим риск портфеля величиной rр. Воспользуемся формулой (15.4):

Матрицу, обратную к V, найдем методом миноров:

Вычислим

Окончательно вектор долей рисковых бумаг

Таким образом, рисковые доли должны быть одинаковы и каждая из них равна rр=V20. Следовательно, х0=\-р√.
8. Поставить обе задачи сформировать портфели Тобина: минимального риска при заданной эффективности и максимальной эффективности при заданном риске из трех видов ценных бумаг: безрисковых с эффективностью 2 и рисковых с ожидаемой эффективностью 6 и 8 и рисками 4; и 9 и взаимной корреляцией 9. Ответ:

9. Запишем вариацию доходности портфеля

так:

и назовем величину

портфельной ковариацией доходности i-й ценной бумаги. Оказывается, что в оптимальном портфеле эти ковариации пропорциональны превышению эффективности ценных бумаг над безрисковыми вложениями (подразумевается, что последние на рынке имеются).
Действительно, вектор портфельных ковариации R=VХ*, где X* – вектор долей рисковых вложений. В оптимальном портфеле X* определяется формулами (15.4),
(15.5), т.е. имеет вид:

где γ скаляр, равный

или

Подставляя X* из этих выражений, получим


т.е. видно, что векторы Rи

пропорциональны
10. Докажите, что характеристики портфелей Тобина будут действительно равны заданным.
Указание. Используйте формулы 15.4) и (15.5).