Rambler's Top100




15.3. Портфель Марковица минимального риска
Версия для печати
Опубликовал: Administrator  
18.07.2008
Рассмотрим сначала математическую формализацию задачи формирования оптимального портфеля, которую предложил американский экономист Г. Марковиц (Н. Markovitz) в 1952 г., за что позднее получил Нобелевскую премию:
Найдем xi, минимизирующие вариацию портфеля

при условии, что обеспечивается заданное значение эффективности портфеля mp, т.е.

Поскольку хi доли, то в сумме они должны составлять единицу:

В такой постановке минимизации вариации равносильна минимизации риска портфеля, поэтому задача Марковица может быть сформулирована следующим образом.
Найти xi, минимизирующие риск портфеля

при условии, что обеспечивается заданное значение эффективности портфеля mp, т.е.

поскольку хi доли, то в сумме они, должны составлять единицу:

Решение (оптимальное) этой задачи обозначим значком *. Если xi*≥0, то это означает рекомендацию вложить долю xi* наличного капитала в ценные бумаги i-го вида. Если же xi*<0, то содержательно это означает провести операцию «short sale» («короткая продажа»). Если такие операции невозможны, значит необходимо ввести ограничения xi*≥0.
Что это за операция? Инвестор, формирующий портфель, обязуется через какое-то время поставить ценные бумаги i-го вида (вместе с доходом, какой они принесли бы их владельцу за это время). За это сейчас он получает их денежный эквивалент. Эти деньги он присоединяет к своему капиталу и покупает рекомендуемые оптимальным решением ценные бумаги. Так как ценные бумаги других видов (т.е. не i-го вида) более эффективны, то инвестор оказывается в выигрыше! Собственно, можно обойтись и без операции «short sale», если инвестору доступны займы денежных средств по безрисковой ставке.
Этот портфель минимального риска из всех портфелей заданной эффективности, называется портфелем Марковица минимального риска. Ясно, что его риск rp есть функция а заданной эффективности тр.
Пример З.
С помощью компьютера найден оптимальный портфель Марковица для трех ценных бумаг с эффективностями и рисками: (4,10); (10,40); (40,80); нижняя граница доходности задана равной 15. Доли бумаг оказались равными: 46%, 28%, 26%, минимальный риск 25,4, доходность оказалась равной заданной 15.