Разобьем слагаемые на две группы:

В первой группе слагаемых N, во второй – N(N–1). Предположим для простоты, что стоимость портфеля распределена равными долями по этим видам ценных бумаг, т.е. все xi=1/N. Тогда по формулам для дисперсии имеем

Величина

может быть названа средней дисперсией ценных бумаг, входящих в портфель, а величина

- их средней ковариацией. Поэтому предыдущую формулу можно выразить словами: дисперсия портфеля равна (1/N) средней дисперсии плюс (1–1/N) средней ковариации. Это и есть эффект диверсификации портфеля: с ростом числа входящих в портфель ценных бумаг в его дисперсии (и риске) вклад средней дисперсии (среднего риска) становится все меньше, зато все больше – вклад средней ковариации. Так что если входящие в портфель ценные бумаги мало коррелированны друг с другом, то дисперсия портфеля уменьшается с ростом числа входящих в портфель бумаг.
В реальности, однако, практически все ценные бумаги, обращающиеся на рынке, испытывают воздействие общеэкономических факторов и изменяются под их воздействием. Это приводит к тому, что их взаимная корреляция является вполне заметной величиной. Эта взаимная корреляция обусловливает так называемый рыночный, или систематический, риск портфеля. На рис. 15.2 показано возможное поведение риска портфеля при увеличении числа ценных бумаг в нем.

Конечно, в силу особенностей работы эмитентов ценных бумаг каждая конкретная ценная бумага испытывает свои колебания эффективности, иногда совершенно не связанные с общерыночными. Эти колебания обусловливают так называемый индивидуальный, или несистематический, риск ценной бумаги.
Диверсификация портфеля может почти полностью устранить влияние на риск всего портфеля индивидуального ириска отдельных ценных бумаг, но она не в силах устранить рыночный риск всего портфеля.
Рассмотрим более конкретно упрощенные примеры влияния корреляции разных ценных бумаг. Предположим сначала, что ценные бумаги различных видов ведут себя независимо, они некоррелированы, т.е. Vij=0, если i≠j. Тогда

Предположим далее, что деньги вложены равными долями, т.е. хi=1/nдля всех i=1,..., п. Тогда

средняя ожидаемая эффективность портфеля, и риск портфеля равен

Пусть γ2=max Vu, тогда
Отсюда вывод: если ценные бумаги некоррелированы, при росте числа их видов п в портфеле риск портфеля ограничен и стремится к 0 при

Пример 2.
Предположим, инвестор имеет возможность составить портфель из четырех видов некоррелированных ценных бумаг, эффективности и риски которых даны в таблице.

Рассмотрим несколько вариантов составления портфеля из этих бумаг равными долями. Напомним, что эффективность портфеля есть среднее арифметическое эффективности, а риск в данном случае r=√(r12+…+rn2)/n(см. также пример 1 из § 12).
A) Портфель образован только из бумаг 1-го и 2-го видов. Тогда m12=(2+4)/2=3; r12=√(12+22)/2≈1,12.
Б) Портфель образован только из бумаг 1-го,2-го и 3-го видов. Тогда m1–3=(2+4+8)/3=4,67; r1–3=√(12+22+42)/3≈1,53.
B) Портфель, образован из бумаг всех четырех типов. Тогда m1–4=(2+4+8+12)/4=6,5; r1–4=√(12+22+42+62)/4≈1,89. Как видим, при составлении портфеля из все большего числа ценных бумаг
риск растет весьма незначительно, а эффективность растет быстро.
Однако, как указано выше, полная некоррелированность ценных бумаг по существу невозможна.
Рассмотрим теперь, как отражается корреляция между видами ценных бумаг на характеристиках портфеля. Корреляция не влияет на эффективность портфеля, ибо

но она сказывается на его вариации, дисперсии или риске, ибо

Введем в рассмотрение величины kij=Vij/(σiσj) – в курсе теории вероятностей они называются коэффициентами корреляции. Тогда Vij=(σixi)(σjxj)kij. Для того чтобы понять влияние корреляции, рассмотрим два крайних случая. Сначала случай полной прямой корреляции, когда все kij=1 – это значит, что при изменении i-го фактора j-й также изменяется, причем прямо пропорционально. Тогда

если при этом вложить деньги равными долями, т.е. xi=1/n, то

и риск портфеля

Если 0i≥y, то и rv≥y. Следовательно, при полной прямой корреляции диверсификация портфеля не дает никакого эффекта риск портфеля равен среднему арифметическому рисков составляющих его ценных бумаг и не стремится к нулю при росте числа видов ценных бумаг.
Положительная корреляция между эффективностями двух ценных бумаг имеет место, когда курс обеих определяется одним и тем же внешним фактором, причем изменение этого фактора действует на обе бумаги в одну и ту же сторону. Диверсификация портфеля путем покупки обеих бумаг бесполезна риск портфеля от этого не уменьшится.
Теперь рассмотрим ситуацию полной обратной корреляции, т.е. когда ^= 1, если 1Ф]. Для понимания сути дела достаточно рассмотреть портфель, состоящий всего из двух видов ценных бумаг (п=2). Тогда
и если jt2=Wtf2, то Кр=0.
Таким образом, при полной обратной корреляции возможно такое распределение вложений между различными видами ценных бумаг, что риск полностью отсутствует. Полная обратная корреляция довольно редкое явление и обычно она очевидна.