15.1. Постановка задачи об оптимальном портфеле
|
|
| Опубликовал: Administrator | |
|
18.07.2008 Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который участник рынка хочет потратить на покупку ценных бумаг, по различным видам ценных бумаг. Предваряя точные математические постановки, констатируем очевидную общую цель инвестора – вложить деньги так, чтобы сохранить свой капитал, а при возможности и нарастить его. Набор ценных бумаг, находящихся у участника рынка, называется его портфелем. Стоимость портфеля – это суммарная стоимость всех составляющих его бумаг. Если сегодня его стоимость есть Р, а через год она окажется равной Р', то (Р-Р’)/P естественно назвать доходностью портфеля в процентах годовых. т.е. доходность портфеля -это доходность на единицу его стоимости. Пусть xi - доля капитала, потраченная на покупку ценных бумаг i-го вида. Рассуждения о долях эквивалентны тому, что весь выделенный капитал принимается за единицу. Пусть di – доходность в процентах годовых ценных бумаг i-го вида в расчете на одну денежную единицу. Найдем доходность всего портфеля dp. С одной стороны, через год капитал портфеля будет равен 1+dp, с другой – стоимость бумаг i-го вида увеличится с х до xi+dixi, так что суммарная стоимость портфеля будет  Приравнивая оба выражения для стоимости портфеля, получаем  Итак, задача увеличения капитала портфеля эквивалентна аналогичной задаче о доходности портфеля, выраженной через доходности бумаг и их доли формулой (15.1). Как правило, доходность бумаг колеблется во времени, так что будем считать ее случайной величиной. Пусть тi оi - средняя ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение (СКО) этой случайной доходности, т.е. тi=Щ[с1i] математическое ожидание доходности и п , л!уи где Vuвариация или дисперсия /-й доходности. Будем называть тi, п соответственно эффективностью и риском /-й ценной бумаги. Через Vij обозначим ковариацию доходностей ценных бумаг /-го и /-го видов (или корреляционный момент). Так как доходность составляющих портфель ценных бумаг случайна, то и доходность портфеля есть также случайная величина. Математическое ожидание доходности портфеля есть  обозначим его через тр. Дисперсия доходности портфеля есть  Так же как и для ценных бумаг, назовем тр эффективностью портфеля, а величину  риском портфеля rр. Обычно дисперсия доходности портфеля называется его вариацией Vp. Итак, эффективность и риск портфеля выражены через эффективности составляющих его ценных бумаг и их совместные ковариации. Пример 1. Портфель наполовину (по стоимости) состоит из бумаг первого вида с доходностью 14% годовых и из бумаг второго вида с доходностью 8% годовых. Какова эффективность портфеля? Решение. Оба термина - доходность и эффективность – специально упомянуты вместе. Ответ: 0,5*14+0,5*8=11% годовых. Каждый владелец портфеля ценных бумаг, сталкивается с дилеммой: хочется иметь эффективность побольше, а риск поменьше. Однако поскольку «нельзя поймать двух зайцев сразу», необходимо сделать определенный выбор между эффективностью и риском (этот выбор в конечном счете определяется отношением ЛПР к эффективности и риску см. дополнение к ч. 2). Рассмотрим два портфеля ценных бумаг. Так как портфель оценивается по двум характеристикам эффективности и риску, то между портфелями есть отношение доминирования. Скажем, что 1-й портфель с эффективностью ех и риском Г\ доминирует 2-й с еъ г2 если ех>е2 и rx≤r2, и хотя бы одно из этих неравенств строгое. Недоминируемые портфели назовем оптимальными по Парето, такие портфели называют еще эффективными. Конечно, инвестор должен остановить свой выбор только на эффективных портфелях. Если, рассмотреть какое-нибудь множество портфелей и нанести их характеристики риск гр и эффективность mр на плоскость риск доходность, то типичное множество эффективных портфелей выглядит, как кривая DACна рисунке 15.1.  |
|
