Rambler's Top100




14.5. Создание с помощью опционов безрисковых портфелей
Версия для печати
Опубликовал: Administrator  
18.07.2008
Пример создания такого портфеля приведен в § 14.4. При этом были использованы опционы на покупку, которые выписал владелец актива. Создать безрисковый портфель можно и с помощью опционов на продажу. Рассмотрим аналогичный пример.
Пусть цена актива Sравна 60 д.е., такова же и цена исполнения опциона на продажу. Срок действия опциона европейского типа один месяц. Предположим, что к концу месяца с вероятностью 1/2 цена актива, либо поднимется на 15 д.е., либо опустится на столько же. В первом случае опцион непосредственно перед исполнением будет стоить 15 д.е., во втором не будет стоить ничего. Поэтому в первом случае продавец опциона должен заплатить держателю опциона 15 д.е., во втором, случае он не должен ничего платить. Так как размах колебаний цен актива равен 30 д.е. и ровно в два раза превосходит колебания стоимости опциона перед исполнением, то, для создания безрискового портфеля держатель актива должен купить 2 опциона на продажу. Проверим, что портфель из актива и этих двух опционов действительно безрисковый.
В самом деле, в рамках рассматриваемой модели к концу месяца цена актива будет либо 75 д.е., либо 45 д.е. В первом случае владелец портфеля ничего не будет делать с купленными им опционами на продажу, во втором случае продавец опционов выплатит ему по 15 д.е. за опцион. В обоих случаях к концу месяца портфель будет стоить 75 д.е. независимо от цены актива. Это и означает его безрисковость.
Теперь перейдем непосредственно к определению цены опциона. Пусть банковская безрисковая ставка равна 10%. Так как портфель безрисковый, то его современную стоимость найдем, дисконтируя его стоимость в конце месяца по безрисковой ставке. Итак, его современная стоимость равна 75/(1+0,1)=68,2 д.е. Но сейчас актив стоит 60 д.е. и поэтому два опциона вместе стоят 68,260=8,2 д.е. Следовательно, один опцион стоит 4,1 д.е. За такую цену оба опциона и должны быть куплены. Проследим детально, как в § 14.4,. за капиталом покупателя опционов. Сначала у него был только актив стоимостью 60 д.е. Потом он купил два опциона, каждый по 4,1 д.е. теперь у него денег 8,2 д.е. долг за купленные опционы, актив стоимостью 60 д.е. и два опциона, являющиеся фактически тоже активами, цена этих активов 8,2 д.е. прежний актив и эти два опциона вместе образуют безрисковый портфель стоимостью 68,2 д.е. К концу месяца 8,2 д.е. уменьшатся по безрисковой ставке до 8,2*(1+0,1)=9 д.е., стоимость безрискового портфеля возрастет по безрисковой ставке до 75 д.е., всего у покупателя будет 759=66 д.е. –– в точности как если бы его актив был безрисковым и его стоимость возросла бы по безрисковой ставке до 60*(1+0,1)=66 д.е.! Умелое хеджирование, как и в § 14.4, полностью оградило покупателя от риска.
С помощью опциона на покупку можно застраховаться от излишне высокого повышения цены на интересующий актив и обеспечить его приобретение по сегодняшней цене, то делается следующим образом.
Купим опцион на покупку этого актива по цене исполнения Е и одновременно денежную сумму величиной E*(1+b)T, вложим в банк по безрисковой ставке b. К моменту исполнения опциона, т.е. через время T, эта сумма возрастет до Е. Если цена актива к этому моменту не превысит Е, то купим актив; иначе купим актив с помощью имеющегося у нас опциона на покупку.
Между стоимостями опционов на покупку и на продажу есть связь, известная как теорема паритета опционов.
Пусть С, Р - стоимости соответственно опциона на покупку и опциона на продажу и S, Е – цена актива в момент продажипокупки опционов и соответственно цена исполнения. Тогда P=C+E*(1+b)–T S, где bбезрисковая ставка, Т – время опциона.
Для доказательства этой формулы проведем два мысленных эксперимента.
1. Приобретем актив по цене Sи опцион на продажу с ценой исполнения Е и стоимостью Р, затратив всего S+Р. Если цена актива в момент исполнения опциона превысит Е, то актив сохраним, в противном случае актив продадим по цене Е.
2. Купим опцион на покупку этого актива с ценой исполнения Е в стоимостью С и одновременно вложим по безрисковой ставке bденежную сумму величиной E*(1+b)T, всего затратим С+E*(1+b)T; к моменту исполнения опциона т.е. через время Т, эта сумма возрастет по безрисковой ставке до Е. Если цена актива к этому моменту не превысит Е то купим актив; иначе купим актив с помощью имеющегося у нас опциона на покупку.
В рамках рассматриваемой модели оба эксперимента дают в конце один результат: если цена актива к моменту исполнения опциона превысит Е, то будем иметь актив, иначе денежную сумму Е. Следовательно, и в начале этих экспериментов наш капитал должен быть одинаковым, т.е. должно быть S+P=C+E*(1+b)T, откуда и следует формула (14.2). Если цена исполнения опционов совпадает с сегодняшней рыночной ценой актива, то опцион на покупку дороже опциона на продажу.
В заключение отметим, что различным расчетам, связанным с опционами, посвящено огромное число научных работ. Начало этому положили работы Ф..Блэка и М. Шоулса в 1973 г. и Р.С. Мертона (в то же время), посвященные ценообразованию опционов. Эти работы без преувеличения совершили революцию в финансовых расчетах.
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
1. Рассмотрите два опциона на покупку, во всем одинаковых, но с разными ценами исполнения. Какой опцион дороже?
2. Ответьте на тот же вопрос относительно стоимости опционов на продажу.
3. В однопериодной биномиальной модели для создания безрискового портфеля надо продать 2 опциона. Сколько опционов надо, продать для той же цели в многопериодной биномиальной, модели?
4. Проведите подробный вывод формулы (14.1).