14.3. Ценообразование опционов на основе биномиальной модели
|
|
| Опубликовал: Administrator | |
|
18.07.2008 Идея оценки опциона состоит в создании безрискового портфеля путем покупки актива и продажи (выписки) нескольких опционов на покупку этого же актива. Последующий анализ этого портфеля позволяет определить стоимость опциона. Допустим, поведение цены актива описывается биномиальной однопериодной моделью. Итак, пусть цена актива S=60 д.е., такова же и цена, исполнения опциона на покупку. Срок действия опциона европейского типа один месяц. Предположим, что к концу месяца с вероятностью 1/2 цена актива либо поднимется на 15 д.е., либо опустится на столько же. В первом случае опцион посредственно перед исполнением будет стоить 15 д.е., во втором случае не будет стоить ничего. Поэтому в первом случае продавец опциона должен заплатить держателю опциона 15 д.е., во втором случае он не должен ничего платить. Так как размах колебаний цен актива равен 30 д.е. и ровно в два раза превосходит колебания стоимости опциона перед исполнением, то для создания безрискового портфеля продавец опционов должен выписать 2 опциона на покупку. Проверим, что портфель из актива и этих двух опционов действительно безрисковый. В самом деле, в рамках рассматриваемой модели к концу месяца цена актива будет либо 75 д.е., либо 45 д.е. В первом случае владелец портфеля вынужден будет доплатить держателям опционов 30 д.е., во втором случае – ничего. В обоих случаях к концу месяца портфель будет стоить 45 д.е. независимо от цены актива. Это и означает его безрисковость. Теперь перейдем непосредственно к определению цены опциона. Пусть банковская безрисковая ставка равна 10%. Гак как портфель безрисковый, то его современную стоимость найдем, дисконтируя его стоимость в конце месяца по безрисковой ставке. Итак, его современная стоимость равна 45/(1+0,1)=41 д.е. Но сейчас актив стоит 60 д.е., поэтому два опциона вместе стоят 60–41=19 д.е. Следовательно, один опцион стоит 9,5 д.е. За такую цену оба опциона и должны быть проданы. Интересно детально проследить за состоянием (богатством) продавца опционов. Сначала у него был только актив стоимостью 60 д.е. Потом он выписал и продал два опциона, каждый до 9,5 д.е. Теперь у него денег 19 д.е. за проданные опционы, актив стоимостью 60 д.е. и обязательства по обеспечению двух опционов, цена этих обязательств 19 д.е. и они образуют его пассив. Актив и этот пассив вместе образуют безрисковый, портфель стоимостью 41 д.е. К концу месяца 19 д.е. возрастут по безрисковой ставке до 19*(1+0,1)=21 д.е., стоимость безрискового портфеля возрастет по безрисковой ставке до 41*(1+0,1)=45 д.е. Всего у продавца опционов будет 21+45=66 д.е. – в точности; как если бы его актив был безрисковым и его, стоимость возросла бы по безрисковой ставке до 60*(1+0,1)=66! Умелое хеджирование полностью оградило от риска. |
|
