12.1. Диверсификация - Финансовая математика

12.1. Диверсификация

Опубликовал: Administrator

18.07.2008
Напомним, что дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий. Из этого вытекает следующее утверждение, лежащее в основе метода диверсификации.
Утверждение 1.
Пусть Ои...,Оп некоррелированные операции с эффективностями eh...,enи рисками rh...,r2. Тогда операция «среднее арифметическое» 0=(Ох+...+Оп)/п имеет эффективность е=(ех+...+еп)1п и риск г=√(гх2+...^п)/и.
Доказательство этого утверждения простое упражнение на свойства математического ожидания и дисперсии.
Следствие 1.
Пусть операции некоррелированы и а<& и Ь<п≤с с для всех /=1,..,и. Тогда эффективность операции «среднее арифметическое» не меньше а (т.е. наименьшей из эффективностей операций), а риск удовлетворяет неравенству Ъ^п<г≤с^п и, таким образом, при увеличении п уменьшается. Итак, при увеличении числа некоррелированных операций их среднее арифметическое имеет эффективность из промежутка эффективностей этих операций, а риск однозначно уменьшается.
Этот вывод называется эффектом диверсификации (разнообразия) и представляет собой в сущности единственно разумное правило работы на финансовом и других рынках. Этот же эффект воплощен в народной мудрости «не клади все яйца в одну корзину». Принцип диверсификации гласит, что нужно проводить разнообразные, не связанные друг с другом операции, тогда эффективность окажется усредненной, а риск однозначно уменьшится.
При применении этого правила нужно быть осторожным. Так, нельзя отказаться от некоррелированности операций.
Предложение 2.
Предположим, что среди операций есть ведущая, с которой все остальные находятся в положительной корреляционной связи. Тогда риск операции «среднее арифметическое» не уменьшается при увеличении числа суммируемых операций.
Действительно, для простоты примем более сильное предположение, именно, что все операции Oi, i=l,...,n, просто копируют операцию 0\ в каких то масштабах, т.е. OrW\ и все коэффициенты пропорциональности kположительны. Тогда операция «среднее арифметическое» 0=(Ох+...+Оп)1п есть просто операция 0\ в
масштабе

и риск этой операции

Поэтому,
если операции примерно одинаковы по масштабности, т.е. ^≈1, то и

Мы видим, что риск операции «среднее арифметическое» не уменьшается при увеличении числа операций.
Пример 1.
Предположим, ЛПР имеет возможность составить операцию из четырех некоррелированных операций, эффективности и риски которых даны в таблице.

Рассмотрим несколько вариантов составления операций из этих операций с равными весами.
1. Операция составлена только из 1-й и 2-й операций. Тогда e12=(3+5)/2=4; r12=√(22+42)/2≈2,24
2. Операция составлена только из 1-й, 2-й и 3-й операций. Тогда e123=(3+5+8)/3=5,3; r123=√(22+42+62)/3≈2,49.
3. Операция составлена из всех четырех операций. Тогда e1–4=(3+5+8+10)/4=6,5; r1–4=√(22+42+62+122)/4≈ 3,54.
Видно, что при составлении операции из всё большего числа операций риск растёт весьма незначительно, оставаясь близко к нижней границе рисков составляющих операций, а эффективность каждый раз равна среднему арифметическому составляющих эффективностей.
Принцип диверсификации применяется не только для усреднения операций, проводимых одновременно, но в разных местах (усреднение в пространстве), но и проводимых последовательно во времени, например, при повторении одной операции во времени (усреднение во времени). Например, вполне разумной является стратегия покупки акций какой-нибудь стабильно работающей компании 20-го января каждого года. Неизбежные колебания курса акций этой компании благодаря этой процедуре усредняются и в этом проявляется эффект диверсификации.
Теоретически эффект диверсификации только положителен – эффективность усредняется, а риск уменьшается. Однако усилия по проведению большого числа операций, по отслеживанию их результатов могут, конечно, свести на нет все плюсы от диверсификации.

[ 1 / 5 ] Далее > Конец >>