11.2. Риск отдельной операции
|
|
| Опубликовал: Administrator | |
|
18.07.2008 Так как мы хотим количественно оценить рискованность операции, а это невозможно сделать без вероятностной характеристики операции, то ее исходам припишем вероятности и оценим каждый исход доходом, который ЛПР получает при этом исходе. В итоге получим случайную величину Q, которую естественно назвать случайным доходом операции, или просто случайным доходом. Пока ограничимся дискретной случайной величиной (д.с.в.):  где qj - доход, а рj – вероятность этого дохода. Операцию и представляющую ее случайную величину – случайный доход – будем отождествлять при необходимости, выбирая из этих двух терминов более удобный в конкретной ситуации. Теперь можно применить аппарат теории вероятностей и найти следующие характеристики операции. Средний ожидаемый доход – математическое ожидание с.в. Q, т.е.  обозначается еще mQ, Q, употребляется также название эффективность операции. Дисперсия операции - дисперсия с.в. Q, т.е.  Обозначается также DQ. Среднее квадратическое отклонение с.в. Q, т.е.  Обозначается также σq. Отметим, что средний ожидаемый доход, или эффективность операции, как и среднее квадратическое отклонение, измеряется в тех же единицах, что и доход. Напомним фундаментальный смысл математического ожидания св. Среднее арифметическое значений, принятых св. в длинной серии опытов, примерно равно ее математическому ожиданию. Все более признанным становится оценка рискованности всей операции посредством среднего квадратического отклонения случайной величины дохода Q, т.е. посредством σQ . В данной книге это основная количественная оценка. Итак, риском операции называется число σQ среднее квадратическое отклонение случайного дохода операции Q. Обозначается также rQ. Пример 2. Найдем риски первой и второй операций из примера 1:  Сначала вычисляем математическое ожидание с.в. Q1: т1=–5*0,01+25*0,99=24,7. Теперь вычислим дисперсию по формуле D1=M[Q12]– m12. Имеем М[Q12]=25*0,01+625*0,99=619. Значит, D1=619–(24,7)2=8,91 и окончательно r1=2,98. Аналогичные вычисления для второй операции дают m2=20; r2=5. Как и «полагала интуиция», первая операция менее рискованная. Предлагаемая количественная оценка риска вполне согласуется с интуитивным пониманием риска как степени разбросанности исходов операции – ведь дисперсия и среднее квадратическое отклонение (квадратный корень из дисперсии) и суть меры такой разбросанности. Пример 3. ЛПР рассматривает две возможные игры. В одной бросают монету, и ЛПР получает 10 денежных единиц, если монета упадет «орлом» вверх, и платит 10 единиц, если она упадет «решкой» вверх. Выплаты в этой игре образуют ряд распределения слева:  В другой игре бросают игральный кубик и выплаты ЛПР образуют ряд распределения справа. Средний ожидаемый выигрыш в обоих случаях равен 0. Однако интуитивно разбросанность платежей во второй игре больше. Вычисления дисперсии и риска подтверждают это: А=100*0,5+100*0,5=100;А=(400+100)2/6=500/3=167;  Средний ожидаемый доход операции Q, т.е. ее эффективность тQ и ее риск rQ связаны известным неравенством Чебышева:  Однако известно, что это неравенство весьма грубое и на практике почти не применяется. Если доход операции есть случайная величина, распределенная по нормальному закону, то риск довольно точно указывает некоторые вероятности, связанные с эффективностью: P(\Q - mQ\<3rQ)≈0,997; P(\Q - mQ\<2rQ)≈0,95. Иногда эти оценки весьма полезны. Следующие утверждения о риске являются следствиями соответствующих утверждений о дисперсии и среднем квадратическом отклонении из теории вероятностей. Утверждение А. При увеличении масштаба операции в А раз, т.е. при увеличении всех значений случайного дохода в к раз, эффективность операции увеличивается в к раз, а риск в \к\ раз. Б. При изменении всех доходов на одно и то же постоянное число эффективность операции также изменяется на это число, а риск не изменяется. С. Пусть операции Q\ и Q2некоррелированы, тогда дисперсия их суммы равна сумме дисперсий, поэтому риск суммарной операции равен  Д. В общем случае, т.е. для двух произвольных операций Q1 и Q2, риск суммарной операции равен  – коэффициент корреляции случайных доходов операций; заметим, что | кп\≤\; из этой формулы вытекает, что риск суммарной операции может быть как больше величины гх+г2.(если к12>О -при так называемой положительной корреляции доходов операций), так и меньше этой величины (если к12<0 при отрицательной корреляции доходов операций). Напомним, что случайные величины X, У называются некоррелированными, если их корреляционный момент KXY=M[(X-mx)(T-mY)\ равен 0; корреляционный момент KXYи коэффициент корреляции kXYсвязаны формулой КХу=ах*ау* kXY; независимые случайные величины некоррелированы. Пример 4. Пусть операции Q1 и Q2 некоррелированы, найдем риск операции Q=0,5*Q1+0,5*Q2 (например, денег не хватит на проведение обеих операций в полном объеме):  Риски обеих операций уже найдены в примере 2: ^=2,98; г2=5. Значит, rQ=√(2,982+52)/2≈√(891+25)/2≈5,82/2=2,91. Другие измерители риска. По нашему мнению, среднее квадратическое отклонение является наилучшим измерителем риска отдельной операции. В гл. 10 рассмотрены классическая схема принятия решений в условиях неопределенности и оценки риска в этой схеме. Полезно познакомиться: с другими измерителями риска. В большинстве случаев эти измерители – просто вероятности нежелательных событий. |
|
