Самое важное свойство этой функции – ее вогнутость, т.е. d(z+y)≤d(z)+d(у) для любых сумм z, у или, другими словами: отрезок, соединяющий две точки графика функции, лежит ниже этого графика. Можно сформулировать это свойство и так: прирост полезности денег уменьшается с увеличением их количества. Это утверждение ниоткуда не следует, однако подтверждается всей человеческой практикой и потому его надо рассматривать как аксиому, характеризующую, поведение индивидума.
Если функция d(х) дифференцируема, то из того, что полезность денег увеличивается с ростом их количества, следует, что d'(х)>0, а сформулированная выше аксиома влечет, что d"(х)<0.
С помощью функций полезности денег можно выразить характерное отношение к ним индивида. Например, пусть график функции полезности индивида А - это кривая а на рис. 7.8, а индивида Б - кривая б на том же рисунке. Тогда можно сказать, что индивид А хотел бы и будет доволен, если его доход лежит на промежутке [р, q], при превышении такого дохода он начинает ценить деньги меньше, возможно, он переключается на другие «радости» жизни. Для индивида Б такое состояние наступает позже.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. Функция временной ценности денег индивида изображена на рис. 7.9, здесь же пунктиром проведена кривая нейтральной функции временной ценности денег.

Пусть индивид решает вопрос, как ему отдавать заем: 1) одним платежом в конце, 2)равными выплатами во все время займа или 3) равными выплатами основного долга (и уменьшающимися выплатами процентных денег) (об этих способах погашения займа см. §§ 2.1-2.3. Тогда в случае а индивиду наиболее выгоден вариант 1), в случае б – вариант 2) и в случае в – вариант 3). Если же его функция нейтральна, то все три варианта для него равноприемлемы.
2. Проверьте, что функции U(z)=vzи U(z)=ln(1+z) удовлетворяют требованиям к функции полезности денег.
3. Два индивида имеют одинаковую функцию полезности денег – U(z)=vz . Разделите 1 д.е. между ними, чтобы суммарная полезность была наибольшей.
4. Допустим, что временная ценность денег индивида совпадает с объективной при ставке 10% годовых, а функция полезности денег есть U(z)=vz.Какова для него полезность суммы $400 сейчас плюс $500 через год?
Указание. Надо дисконтировать $500 и затем оценить полезность суммарной суммы.
5. В нормальной экономике, где любой набор товаров можно купить, функцию полезности индивида и(Х), определенную на наборах товаров, можно заменить функцией полезности денег по правилу: и(Х)=d(с(Х)), где с(Х) – цена или стоимость набора товаров X, а d(z) – полезность денежной суммы zдля того же индивида. Постройте функцию полезности на пространстве двух товаров с ценами 2 и 5 д.е. за единицу товара и функцией полезности денег d(z)=√z.