18.07.2008
Эффективной ставкой называется годичная ставка сложных процентов, наращение по которой начальной суммы S(0) дает к моменту tсумму S(t), наращенную по какой–то схеме наращения. Ясно, что эффективная ставка fнаходится из уравнения (1+f)t=S(t)/S(0). Пусть, например, наращение происходит по схеме сложных процентов т раз в году, каждый раз начисляется i/т процентов. Тогда эффективная ставка находится из уравнения: (1+f)=(1+i/т)m, так что f=(1+i/т)m–1.
Для данной операции с начальной и конечной опенками (Н, К) эквивалентной ставкой называется доходность операции, выраженная в процентах годовых. Такая ставка eнаходится из уравнения К/Н=(1+е)t, где t–длительность операции. Понятие эквивалентной ставки введено для сравнения различных операций по скорости наращивания ими капитала.
Пример 3.
Определить проценты наращения, эквивалентные учетной ставке в 20%.
Решение. Обозначим учетную ставку d, ставку процентов i, тогда имеем уравнение 1/(1–d)==1+i, отсюда i=d/(1–d). По данным примера получаем i=0,2/0,8=0,25. Итак, по своей доходности учетная ставка 20% эквивалентна наращению простых процентов по ставке 25%.
Таким образом можно определить эквивалентность ставок различных операций.
Замечание 1. На финансовом рынке постоянно происходит сравнение цены актива с его доходностью. На этом рынке действует аналог знаменитого закона А. Смита: средняя норма доходности по всем отраслям народного хозяйства должна быть примерно одинакова. Поэтому активы, которые не могут обеспечить среднюю по рынку доходность, падают в цене, и наоборот, очень доходные активы поднимаются в цене.
Замечание 2. Распространенное мнение, что ценные металлы, драгоценности являются хорошим средством сохранения богатства во время инфляции, нередко не подтверждается. Во время безумного 1993 г. (в начале этого года Гайдар «отпустил» цены) многие цены в России возросли за год в 1000–5000 раз, и цены на серебро, золото не поспевали за ценами на продовольствие, определяющими фактически жизненный уровень большинства населения. Кое-кто из этого большинства вынужден был продавать эти металлы, теряя значительную часть их прошлой стоимости. Фактически за такой огромной инфляцией в условиях обнищания значительной части населения могут поспеть только цены на товары высокой потребительской полезности (проще говоря, товары первой необходимости).
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. Если доходность одной операций в процентах годовых больше, чем аналогичная характеристика другой, значит ли это, что первую–операцию: надо предпочесть второй? 2. Значения капитала в моменты времени 0; 1; 2; 4 есть 100, 200, 300, 400. Найти доходность и среднюю доходность на отдельных промежутках (в процентах годовых).
Решение. Найдем, например, среднюю доходность на промежутке [1;4]. В начале этого промежутка капитал равен 200, в конце 400. Приращение равно 200, таким образом доходность равна 200/200=1, или 100%. Это абсолютная доходность. Если же хотим найти эффективность, т.е. доходность в процентах годовых d, то надо решить уравнение (1+d)2=400/200. Получим d=0,44, или 44% годовых.
3. Ссуда выдана на 2 года с обязательством выплатить на 30% больше (т.е. под 15 ежегодных простых процентов). Найдите эквивалентную ставку сложных годовых процентов.
4. На какую годовую ставку процентов нужно заменить номинальную ставку годовых сложных процентов i=12%, если начислять сложные проценты ежеквартально по 4% ?
5. Найти доходность «циклического», инвестиционного проекта – см. задачу 1 из § 1.4.
Решение. Достаточно найти внутреннюю доходность потока платежей одного цикла, для чего следует решить уравнение 30 000=10 000*а(9, j), где j– искомая доходность. По таблице коэффициентов приведения ренты (приложение 3)
подбираем j, чтобы а(9, j)=3. Получаем j=30% .
6. Зависимость мгновенной доходности от времени задана формулой d(t)=аt, где а - константа. Найдите изменение капитала во времени.
Указание. Нужно решить дифференциальное уравнение К'(t)=К(t)*аt - это уравнение с разделяющимися переменными.
7. Иногда операции с иностранной валютой могут быть очень доходные. Пусть за ноябрь 1998 г. курс доллара возрос с 16 руб. до 18 руб. Банк в начале месяца купил доллары за рубли, а в конце месяца продал доллары, получив рубли. Найдите доходность этой операции в процентах годовых. Если инфляция за этот месяц была 10%, то какова реальная доходность операции?
8. По срочному годовому рублевому вкладу банк платит 42% годовых. Прогноз повышения курса доллара за год – с 20 руб. до 30 руб. Какое принять решение: нести рубли в банк или купить на них доллары и хранить их «в банке, а банку в тумбочке»? («естественной» инфляцией доллара в 2-3% в год пренебречь).
9. По срочному годовому рублевому вкладу банк платит 42% годовых, а по такому же валютному – 8%. Прогноз повышения курса доллара за год – с 20 руб. до 26 руб. Какое принять решение: нести рубли в банк или купить на них доллары и положить их на валютный вклад (после 17 августа 1998 г. доверия к банкам у россиян нет, поэтому ограничимся просто теоретическим подсчетом, что выгоднее).
10. В советское время легковую машину можно было купить с большим трудом. Гражданин К. купил в 1977 г. «Жигули» за 8000 руб. Подрабатывая на ней частным извозом (в то время незаконным), он зарабатывал на ней в месяц «чистыми» 300 руб. (это примерно была зарплата доцента вуза), а через два года продал ее за 8200 руб. Найдите и объясните на этом примере, что такое текущая и полная; доходность (расходом на бензин и т.п. издержками пренебречь).
11. Обменные курсы валют в банке: по доллару США – 22,8/23,6 руб. за доллар; по итальянской лире – 13,6/15,4 руб. за 1000 лир (чем менее распространена валюта, тем больше по ней банковская маржа). Какова доходность для банка операции по обмену лир на доллары?
Решение. Банк купит 1000 лир по кросс-курсу следующим образом: мысленно работник банка выдаст сдающему лиры 13,6 руб. за каждую 1000 лир, а потом на эти рубли продаст доллары в количестве $1 за 23,6 руб. Таким образом, за каждые 1000 лир будет выдано 13,6/23,6=0,576 долл. Т.е. доходность операции fнаходится из уравнения 1+f=(1+d)(1+l)=(23,6/22,8)*(15,4/13,6)=1,17. Итак, доходность операции равна 17%. |
